ما هو الفائدة المركبة؟

الفائدة هي التكلفة التي يدفعها المقترض مقابل استخدام المال الذي يحصل عليه من المُقرض. عادةً ما تُحسب الفائدة كنسبة مئوية من أصل المبلغ (Principal). وتنقسم الفائدة إلى نوعين رئيسيين: الفائدة البسيطة والفائدة المركبة.

الفائدة البسيطة

الفائدة البسيطة تُحسب فقط على أصل المبلغ المقترض أو المستثمر. الصيغة الأساسية لها هي:

الفائدة = أصل المبلغ × معدل الفائدة × عدد السنوات

مثال:
شخص اقترض 100 دولار بمعدل فائدة بسيط 10% سنويًا لمدة سنتين:

100 × 10% × 2 = 20 دولار

لكن الفائدة البسيطة نادرًا ما تُستخدم عمليًا، بعكس الفائدة المركبة التي أصبحت النظام الأكثر شيوعًا.

الفائدة المركبة

الفائدة المركبة تعني أن الفائدة تُحسب على أصل المبلغ بالإضافة إلى الفائدة المتراكمة من الفترات السابقة. أي أن الفائدة نفسها تبدأ في توليد فائدة، فتتضاعف القيمة بمرور الوقت.

مثال:
شخص اقترض 100 دولار بمعدل فائدة مركبة 10% سنويًا لمدة سنتين:

• نهاية السنة الأولى:
  100 × 10% = 10 دولار → الرصيد الجديد = 110 دولار

• نهاية السنة الثانية:
  110 × 10% = 11 دولار

إجمالي الفائدة بعد سنتين = 10 + 11 = 21 دولار (مقارنة بـ20 دولار فقط في الفائدة البسيطة).

لهذا السبب تُشبه الفائدة المركبة بـ”كرة الثلج” التي تكبر كلما دارت أكثر. وبنفس الطريقة، الاستثمار المبكر يُضاعف الثروة بشكل مذهل على المدى الطويل.

على سبيل المثال:
شاب استثمر 1,000 دولار في سوق الأسهم عند عمر 20 عامًا بمعدل عائد سنوي 10% (وهو متوسط عائد مؤشر S&P 500 منذ عشرينيات القرن الماضي). عند التقاعد في عمر 65 سنة، سيصبح رصيده 72,890 دولار تقريبًا، أي ما يعادل 73 ضعف الاستثمار الأصلي!

لكن كما تُفيد المستثمرين، قد تكون الفائدة المركبة “سيفًا ذو حدين” على المدينين، حيث يؤدي تأجيل سداد الديون إلى تضخم المبالغ المستحقة بشكل كبير.

دور معدل تكرار الفائدة

الفائدة المركبة قد تُحسب على فترات مختلفة: سنويًا، نصف سنوي، ربع سنوي، شهريًا أو حتى يوميًا. كلما زادت مرات احتساب الفائدة خلال السنة، ارتفع إجمالي المبلغ المستحق.

مثال:
قرض بمعدل 10% سنويًا، لكن يُحسب نصف سنوي (أي 5% كل 6 أشهر):

• أول 6 أشهر: 100 × 5% = 5 دولار

• ثاني 6 أشهر: (100 + 5) × 5% = 5.25 دولار

• الإجمالي = 10.25 دولار

أي أن 10% نصف سنوي تعادل 10.25% سنوي فعلي.

عادةً:

• الحسابات البنكية والودائع تُحسب سنويًا.

• القروض العقارية وبطاقات الائتمان تُحسب شهريًا.

وبالتالي قد يُظهر البنك معدلًا “صغيرًا” شهريًا (مثلاً 0.5% شهريًا) لكنه في الحقيقة يعادل 6.17% سنويًا عند التجميع.

معادلات الفائدة المركبة

1. المعادلة الأساسية

At=A0(1+r)nAt = A0 (1 + r)^nAt=A0(1+r)n

حيث:

• A0: أصل المبلغ

• At: المبلغ بعد الزمن t

• r: معدل الفائدة

• n: عدد الفترات

مثال:
إيداع 1,000 دولار بمعدل 6% سنوي لمدة سنتين:

At=1000×(1+0.06)2=1123.60At = 1000 × (1 + 0.06)^2 = 1123.60At=1000×(1+0.06)2=1123.60

2. معادلة الفائدة بتكرار مختلف

At=A0×(1+rn)n×tAt = A0 \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \times t}At=A0×(1+nr​)n×t

مثال:
إيداع 1,000 دولار بمعدل 6% سنوي مركب يوميًا لمدة سنتين:

• معدل الفائدة اليومي = 6% ÷ 365 = 0.016438%

• الحساب:

At=1000×(1+0.00016438)365×2=1127.49At = 1000 × (1 + 0.00016438)^{365 × 2} = 1127.49At=1000×(1+0.00016438)365×2=1127.49

3. الفائدة المركبة المستمرة

الفائدة المستمرة تمثل الحد الأقصى رياضيًا لتأثير الفائدة المركبة وتُحسب بالمعادلة:

At=A0ertAt = A0 e^{rt}At=A0ert

مثال:
استثمار 1,000 دولار بمعدل 6% سنوي لمدة سنتين:

At=1000×e0.12=1127.50At = 1000 × e^{0.12} = 1127.50At=1000×e0.12=1127.50

قاعدة الـ72

طريقة سريعة لتقدير عدد السنوات اللازمة لمضاعفة مبلغ معين عند معدل عائد ثابت:

عددالسنوات≈72معدلالفائدةعدد السنوات ≈ \frac{72}{معدل الفائدة}عددالسنوات≈معدلالفائدة72​

مثال:
عند معدل 8% سنويًا:

$$72÷8=9سنوات$$

أي أن المبلغ يتضاعف خلال 9 سنوات تقريبًا.

لمحة تاريخية

• أقدم استخدام للفائدة المركبة يعود لحضارات بابل وسومر قبل 4400 سنة.

• في العصور القديمة، كثير من القوانين الدينية والمدنية حظرت الفائدة المركبة واعتبرتها “ربا”.

• لكن مع تطور التجارة في العصور الوسطى وانتشار جداول الفائدة المركبة في القرن الـ17، أصبحت أكثر شيوعًا.

• في عام 1683، اكتشف جاكوب برنولي العلاقة بين الفائدة المركبة والثابت الرياضي e (~2.718). ثم طوّر ليونارد أويلر هذا المفهوم وأسماه “ثابت أويلر”.